여기서는 한번 기하학의 기초인 점,선,면에 대해서 이야기해 보자. 그리고 또 그것들이 이루는 것들에 대해서도 알아보자.

기하학?

‘기하(幾何)’는 길이·넓이 등이 ‘얼마인가?’를 뜻하는 말로…

기하학이라는게 별건 아니고 그냥 뭔가를 재서 크기를 알아내는 학문을 말하는 것 같다.

공리

기하학을 시작하는 데 있어 공리가 있다. 유클리드가 세운 이 내용은 다음과 같다.

  1. 임의의 점에서 임의의 점으로 하나의 선분을 그릴 수 있다.
  2. 하나의 선분을 따라 길이가 정해진 하나의 직선을 만들 수 있다.
  3. 임의의 중심과 거리(반지름)로 하나의 원을 그릴 수 있다.
  4. 모든 직각은 서로 같다.
  5. 평행선 공준 - 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180도)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.

기하학의 구성 요소

여기서는 기하학을 이루는 구성 요소들을 살펴보자.

점(Points)

유클리드 기하학에서 점이란, 위치만 있고 크기가 없는 어떠한 도형을 말한다. 기하학에서의 여러 도형들은 이 점을 기본 구성 요소로 삼는다. 예를 들어 직선의 한쪽 끝은 반드시 점에서 시작하며, 두 직선이 교차하는 곳에서도 점이 나온다.

선(Lines)

유클리드 기하학에서 선이란, 길이는 있지만 폭이 없는 것을 말한다. 선은 점들의 무한한 집합으로 만들 수 있는 1차원의 도형이며, 이 선의 성질 중 대표적인 것은 어떤 두 점 사이를 최단거리로 잇는다는 것이다.

특이한 점으로는 선과 선이 만나 차원이 없는 도형, 점을 얻을 수 있다.

직선은 직선, 반직선, 선분 세 가지로 나눌 수 있다.

직선(Line)

길이가 무한한 선을 말한다. 즉 출발점과 끝점을 찾을 수 없는, 상상 속의 도형을 말한다.

반직선(Ray, Half-line)

반직선은 시작점 하나를 가지는 어떤 선을 말한다. 따라서 한쪽 끝은 확인할 수 있지만 다른 한 쪽의 끝은 무한히 뻗어나가므로 우리가 확인할 수는 없다…

선분(Segment)

선분은 직선, 반직선과는 다르게 양쪽 끝점을 찾을 수 있는 선을 말한다. 따라서 이 선분의 길이는 무한하지 않고, 그 길이를 우리가 잴 수가 있다.

면(Plains)

면은 어떤, 이차원의 평탄한 표면을 가지는 도형을 말한다. 그 위에 있는 어떤 두 점을 택하더라도, 그 두 점을 지나는 직선 전체를 포함하는 성질을 지닌다. 직교 좌표 위에서 평면을 정의했을 때, 평면을 이루는 점 하나의 순서쌍을 구할 수 있으며, 면은 따라서 이 순서쌍을 나열하는 것으로 표현할 수 있다.

조금 더 큰 범위로 “곡면"에 포함할 수 있지만 여기서는 넘어가기로 하고, 평면은 다음의 성질 중 하나를 가진다.

  1. 한 직선 위에 있지 않는 세 점
  2. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
  3. 서로 만나는 두 개의 서로 다른 직선
  4. 평행한 두 개의 서로 다른 직선

직선은 1차원 도형이지만 면은 2차원 도형이다. 두 개의 길이, 즉 길이와 높이를 가지기 때문인데, 우리는 이 두 값을 곱하여 면적을 얻을 수 있다.

특이한 점으로는 면과 면이 만나 1차원의 도형, 선을 얻을 수 있다.

각(Angles)

각은 같은 시작점을 가지는 어떤 두 반직선이나 선분이 서로 벌어진 정도를 말한다. 그리고 그 크기를 각도라고 부른다. 이 정의에 직선을 사용할 경우 그 길이가 무한하여 4개의 각이 생기므로 직선은 적당하지 않다.

각에도 여러 가지 타입이 있는데 간단히 정리해 보자. 그 종류가 많아서 몇 개만 빨리…

NameDescription
직각(Right angle)각의 크기가 90도인 것을 말한다.
예각(Acute angle)각의 크기가 90도보다 작은 것을 말한다.
둔각(Obtuse angle)각의 크기가 90도보다 큰 것을 말한다.
평각(Straight angle)각의 크기가 180도인 것을 말한다. 따라서 두 선이 이루는 각도가 평각인 경우 이 두 선은 하나의 선 위에 포함된다.
요각(Reentering angle)각의 크기가 180도보다 크고 360도보다 작은 것을 말한다.
철각(Convex angle)각의 크기가 180도보다 작은 것을 말한다. 따라서 예각을 포함한다.
빗각(Oblique angle)

곡선(Curves)

곡면(Surfaces)

다각형(Polygons)

볼록 다각형(Convex Polygon)

오목 다각형(Concave Polygon)